Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

Question

Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

ПОЖАР

Во-первых, я знаю, что уравнение для скорости убегания имеет вид

\begin{matrix} (1) & в_{побег} "=" \sqrt{\frac{2 г М}{р}} \end{matrix}

$v_{\text{escape}}=\sqrt{\frac{2\,GM}{r}}\tag{1}$ и понять его происхождение.

Вот такой простой вывод; для пробного тела массой $m$ на орбите с массивным телом (считается сферическим) с массой $M$ и разделение $r$ между центрами двух тел. Приравнивание центростремительной силы к гравитационной силе дает;

\begin{matrix} (2) & \frac{м в^{2}}{р} "=" \frac{г М м}{р^{2}} \end{matrix}

$\frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}\tag{2}$ что на упрощении дает

\begin{matrix} (3) & в "=" \sqrt{\frac{г М}{р}} \end{matrix}

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\tag{3}$

Я хотел бы знать, почему eqn $(3)$ не является действительным уравнением скорости убегания?

Или, выражаясь иначе, математически, вывод в $(2)$ кажется здоровым; тем не менее, это в разы $\sqrt{2}$ . Чего «не хватает» в выводе $(2)$ ?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Как я уже упоминал в комментарии ниже, просто для ясности, я понимаю это уравнение $(3)$ даст скорость, необходимую для связанной круговой орбиты. Но чтобы избежать этого, должно следовать, что пробная масса должна двигаться с любой скоростью, бесконечно мало большей, чем $\sqrt{\frac{GM}{r}}$ такой, что

в_{сбежать с орбиты} > \sqrt{\frac{г М}{р}}

$v_{\text{escape from orbit}}\gt\sqrt{\frac{\,GM}{r}}$

Другими словами, уравнение $(3)$ дает наименьшую возможную скорость для связанной круговой орбиты. Я называл это «скоростью убегания»; поскольку скорости, превышающие эту, приведут к некруговой орбите, а еще большие - к выходу из эллиптической орбиты.

Итак, мой последний вопрос: делать формулы $(1)$ и $(3)$ на самом деле дать максимально возможную скорость, чтобы не уйти с орбиты, а не саму «скорость ухода»?

Спасибо всем тем, кто предоставил эти ответы.

Риши Каккар

вы пропустили энергию, необходимую для взятия пробной массы там

Немо

Если вы приравняете силы, вы получите орбитальную скорость.

ПОЖАР

@RishiKakkar Как я уже сказал в самом начале; Я понимаю происхождение

(1)

$(1)$ ? Я спрашиваю здесь, почему

(3)

$(3)$ неправильный. Кажется, что

\frac{m v^{2}}{r} \neq \frac{G M m}{r^{2}}

$\frac{mv^2}{r}\ne\frac{GMm}{r^2}$ ?

Немо

Если вы хотите найти скорость убегания, то силы не равны, потому что если бы они были равны, пробное тело просто вращалось бы вокруг массивного тела. Скорость убегания - это минимальная скорость, которую должно иметь пробное тело, чтобы избежать гравитационного притяжения массивного тела.

ПОЖАР

@Andrei Хорошо, тогда, возможно, я должен был сформулировать это немного точнее. Если я изменюсь

v = \sqrt{\frac{G M}{r}} ⟶ v > \sqrt{\frac{G M}{r}}

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\longrightarrow v \gt \sqrt{\frac{GM}{r}}$ затем уравнение

(3)

$(3)$ скажет мне, с какой скоростью тело должно двигаться быстрее , чем убежать; это лучше?

Алхимист

Комментарий @Rishy Kakkar - ответ. Как сформулировано Фарчером.

Джерри Ширмер

@BLAZE: представьте, что вы находитесь в ракете на круговой орбите. Вы запускаете свою ракету на 1 секунду и добавляете небольшое количество энергии. что происходит? Вы оказываетесь на эллиптической орбите с перигеем старого кругового радиуса и немного большим апогеем (точка, из которой вы запустили ракету, должна оставаться на орбите). Чтобы сбежать, вы должны запускать свою ракету достаточно долго, чтобы апогей ушел до бесконечности, после чего орбита станет параболой (и гиперболой для любой дополнительной энергии, которую вы добавляете).

ПОЖАР

@Jerry Спасибо за ваш комментарий, но мой вопрос здесь намного проще. Все, что я хочу знать, это то, что формула

(1)

$(1)$ и

(3)

$(3)$ дают скорость оставаться на орбите или дают скорость уйти с орбиты? Это все, что я хочу знать на данный момент, проблема в том, что я получаю смешанные ответы.

Джерри Ширмер

Формула @BLAZE (1) — это минимальная скорость, позволяющая полностью избежать гравитационного влияния тела. Формула (3) дает скорость одной конкретной орбиты. Мой аргумент выше заключается в том, почему скорость, немного превышающая скорость, указанную в (3), НЕ позволит вам убежать.

Ответы (5)

Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

вы пропустили энергию, необходимую для взятия пробной массы там
Если вы приравняете силы, вы получите орбитальную скорость.
@RishiKakkar Как я уже сказал в самом начале; Я понимаю происхождение $(1)$ ? Я спрашиваю здесь, почему $(3)$ неправильный. Кажется, что $\frac{mv^2}{r}\ne\frac{GMm}{r^2}$ ?
Если вы хотите найти скорость убегания, то силы не равны, потому что если бы они были равны, пробное тело просто вращалось бы вокруг массивного тела. Скорость убегания - это минимальная скорость, которую должно иметь пробное тело, чтобы избежать гравитационного притяжения массивного тела.
@Andrei Хорошо, тогда, возможно, я должен был сформулировать это немного точнее. Если я изменюсь $v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\longrightarrow v \gt \sqrt{\frac{GM}{r}}$ затем уравнение $(3)$ скажет мне, с какой скоростью тело должно двигаться быстрее , чем убежать; это лучше?
Комментарий @Rishy Kakkar - ответ. Как сформулировано Фарчером.
@BLAZE: представьте, что вы находитесь в ракете на круговой орбите. Вы запускаете свою ракету на 1 секунду и добавляете небольшое количество энергии. что происходит? Вы оказываетесь на эллиптической орбите с перигеем старого кругового радиуса и немного большим апогеем (точка, из которой вы запустили ракету, должна оставаться на орбите). Чтобы сбежать, вы должны запускать свою ракету достаточно долго, чтобы апогей ушел до бесконечности, после чего орбита станет параболой (и гиперболой для любой дополнительной энергии, которую вы добавляете).
@Jerry Спасибо за ваш комментарий, но мой вопрос здесь намного проще. Все, что я хочу знать, это то, что формула $(1)$ и $(3)$ дают скорость оставаться на орбите или дают скорость уйти с орбиты? Это все, что я хочу знать на данный момент, проблема в том, что я получаю смешанные ответы.
Формула @BLAZE (1) — это минимальная скорость, позволяющая полностью избежать гравитационного влияния тела. Формула (3) дает скорость одной конкретной орбиты. Мой аргумент выше заключается в том, почему скорость, немного превышающая скорость, указанную в (3), НЕ позволит вам убежать.

Очарование · Answer 1

Прежде всего, в ньютоновской механике, когда объект движется вокруг своего носителя (например, от планеты к звезде), он следует по орбите, которая представляет собой коническое сечение : эллипс, парабола или гипербола. Окружность — это частный случай эллипса. Эллипс — это связанная орбита, а две другие — несвязанные.

Ваш вывод предполагает круговую орбиту. Однако возмущенная круговая орбита не становится гиперболической, а становится эллиптической. Другими словами, если вы возьмете объект, который в данный момент движется по кругу, и заставите его двигаться немного быстрее, он не перейдет на гиперболическую орбиту. Он по-прежнему привязан к хосту.

Скорость убегания — это минимальная скорость, необходимая для того, чтобы объект стал несвязанным. Объект должен двигаться в $v \geq \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ находиться на гиперболической орбите.

Спасибо за Ваш ответ; что подразумевается под «вот почему вывод скорости убегания вычисляет проделанную работу»? «проделанная работа» над/ чем ?
Работа, проделанная над тестовым телом тем, что запускает его в космос.
Я отредактирую свой ответ, чтобы его было легче понять.
@BLAZE Теперь это имеет смысл? Если нет, то какие части вам непонятны?

Стивен · Answer 2

Этот ответ касается редактирования, внесенного в вопрос.

Ваш вопрос сводится к (поправьте меня, если не так): если (1) $v_{escape} =\sqrt{2Gm/r}$ скорость убегания и (3) $v_{circular\;orbit} =\sqrt{Gm/r}$ орбитальная скорость, то что бы, например, $v=\sqrt{1.5Gm/r}$ быть? Или, другими словами, что происходит со скоростью выше, чем $v_{circular\;orbit}$ но ниже, чем $v_{escape}$ ?

Ответ: эллиптическая орбита.

(1) получено для орбитального предела (предполагается, что объект будет бесконечно далеко) и (3) получено для круговой орбиты (вы использовали выражение для круговой центростремительной силы). Промежуточная скорость будет искажать круговую орбиту, как если бы она убегала, но затем все еще возвращалась в какой-то момент, завершая уже не круговую, эллиптическую орбиту.

Полный диапазон возможных скоростей:

$v=0$ : Нет орбиты (вертикальное падение).
$0<v<v_{circular\;orbit}$ : "Вертикальный" эллипс
$v=v_{circular\;orbit}$ : Круг
$v_{circular\;orbit}<v<v_{escape}$ : «Горизонтальный» эллипс
$v=v_{escape}$ : Орбитальный предел
$v_{escape}<v$ : нет орбиты

Если вы не даете разные ответы на один и тот же вопрос, я думаю, вы должны дать только один ответ на весь вопрос, иначе вы получите одни и те же голоса для каждой части вопроса.
@sammygerbil Согласен, но я вижу, что эти два ответа разные.
Это разные ответы на разные части вопроса, а не разные ответы на одни и те же части вопроса. В разделе «Минимальная скорость, необходимая для Loop de Loop (Центростремительная сила)» вопрос состоял из двух частей (как и здесь), но вы дали только один ответ.
@Steeven Хорошо, этот ответ становится ближе к тому, что я хотел бы знать. Что вы подразумеваете под «пределом орбит» в предпоследнем пуле?
@blaze Я имею в виду «орбитальный предел». Вы либо попали на орбиту (что означает, что вы вернетесь когда-то в будущем), либо нет. Скорость побега — это предел между тем, чтобы быть пойманным или не быть пойманным. Все, что ниже, означает попадание на орбиту (возвращение в какой-то момент), все, что больше, означает, что оно не попало на орбиту (никогда не возвращается).
@sammygerbil Возможно, этот другой ответ тоже нужно было разделить на две части, да.
В обоих случаях эти два вопроса тесно связаны. Одно «вытекает» из другого. Редактор предлагает вам добавить к существующему ответу (поскольку ОП добавил к своему вопросу) вместо публикации нового ответа. Если вы считаете, что второй вопрос — это отдельный вопрос, то, чтобы быть последовательным, вы должны попросить ОП опубликовать его как новый вопрос.
@sammygerbil Поскольку на этом сайте разрешено несколько ответов, в этом нет ничего плохого. То, насколько последовательным я выбираю быть, зависит от того, как я проснулся этим утром.

Фарчер · Answer 3

Первое уравнение, которое вы даете, $v_{\text{escape, surface of Earth}}=\sqrt{\dfrac{2\,GM}{r_{Earth}}}$ , - это скорость убегания для объекта, которому дается определенное количество кинетической энергии, чтобы избежать гравитационного притяжения невращающейся Земли или любого другого невращающегося массивного тела.

Когда спутник находится на орбите вокруг Земли, он обладает некоторой кинетической энергией, а также большей гравитационной потенциальной энергией, чем он имел на поверхности Земли, поэтому можно ожидать, что скорость убегания спутника на орбите вокруг Земли будет меньше, чем если тело стартует с поверхности.

Принимая ноль гравитационной потенциальной энергии системы двух тел за бесконечность, полную энергию спутника на круговом радиусе орбиты $r$ является

\frac{1}{2} м в_{о р б я т}^{2} - \frac{г М м}{р}

$\dfrac 12 m v^2_{\rm orbit} - \dfrac{GMm}{r}$

что при использовании вашего уравнения для орбитальной скорости $v_{\rm orbit}=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ дает полную энергию спутника как $-\dfrac{GMm}{2r}$

С этой орбиты, чтобы спутник вырвался из-под гравитационного притяжения Земли, ему должна быть придана дополнительная кинетическая энергия . $\dfrac12 m v^2_{\text{escape, in orbit}}$ такой, что

\frac{1}{2} м в_{побег, на орбите}^{2} - \frac{г М м}{2 р} "=" 0 \Rightarrow в_{побег, на орбите} "=" \sqrt{\frac{г М}{р}}

$\dfrac12 m v^2_{{\text{escape, in orbit}}}-\dfrac{GMm}{2r}=0 \Rightarrow v_{{\text{escape, in orbit}}}= \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

Таким образом, ваше уравнение (3) является правильным уравнением для космической скорости спутника на круговой орбите вокруг Земли.

Вы, наверное, замечали, что места запуска спутников, как правило, располагаются вблизи экватора?
Это связано с тем, что на вращающейся Земле спутник уже имеет некоторую кинетическую энергию, которая может внести свой вклад в общую энергию, необходимую для выхода на орбиту или ухода с Земли, как объясняется в этой статье .

Большое спасибо за этот строгий ответ; было много хороших ответов, но, на мой взгляд, этот наиболее полезен для меня, так как вы установили связь с формулой $(3)$ Я расспрашивал. Затем вы использовали его в выводе, чтобы получить $v_{{\text{escape, in orbit}}}= \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ что мне и нужно было увидеть. Однако это уравнение дает скорость, необходимую для «просто» ограничения. Чтобы убежать, не лучше ли написать $v_{{\text{escape, in orbit}}}\gt \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ ? С наилучшими пожеланиями.
@BLAZE В вашем комментарии я не уверен, что вы имели в виду в последнем предложении?
Привет, я только что добавил правку в конец своего вопроса; надеюсь, это объяснит это более ясно, спасибо.
@BLAZE Указанная скорость заставит спутник уйти от гравитационного притяжения Земли, возможно, по параболической траектории, при этом спутник «достигнет» бесконечности без кинетической энергии, и спутник не вернется на Землю. Любая большая скорость приведет к конечному количеству кинетической энергии, когда спутник «достигнет» бесконечности, возможно, по гиперболической траектории.

Стивен · Answer 4

[...] для пробного тела массой $m$ на орбите [...] </blockquote> Ваше уравнение не дает скорости убегания, потому что объект не ускользнул . Побег означает, что он больше не "пойман" на орбите. Вы буквально предполагаете, что он все еще находится на орбите. Вы получаете выражение для объекта, когда он находится на орбите , поэтому вы получаете орбитальную скорость . Если вам нужна скорость убегания, вы должны сделать вывод в ситуации, когда объект ускользнул. </div> <ul class="translate-comments"></ul></li> <li class="translate-answers-x">Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-18T01:32:52.977Z <div class="translate-answers-x-author pad"> Саймон </div>Сейчас хорошая погода. Сейчас 2023-03-18T01:32:52.977Z <div class="translate-answers-x-answer pad"> Приравняв силы, как вы это сделали, вы получите правильное выражение для скорости объекта на устойчивой (круговой) орбите. Однако скорость убегания — это скорость, необходимая для того, чтобы взять объект из<mi>r</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></math>" role="presentation" style="position: relative;">г = 0 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mi> р </mi><mo> "=" </mo><mn> 0 </mn> </math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-93">r=0к $r = \infty$ . Вот почему вам нужно использовать уравнения энергии.

Суммарная работа, совершенная телом для ухода с орбиты, будет равна:
$Вт "=" \int_{р_{0}}^{\infty} \frac{г М м}{р^{2}} г р "=" \frac{г М м}{р_{0}}$ $W = \int_{r_0}^{\infty}\frac{GMm}{r^2}dr = \frac{GMm}{r_0}$ Таким образом, кинетическая энергия, полученная за счет скорости убегания, должна быть равна выполненной работе: $\frac{1}{2} м в_{е}^{2} "=" \frac{г М м}{р_{0}}$ $\frac 12 m v_e^2 = \frac{GMm}{r_0}$ И так $в_{е} "=" \sqrt{\frac{2 г М}{р_{0}}}$ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r_0}}$

Крис · Answer 5

Обратите внимание, что объект с космической скоростью всегда убегает, независимо от направления (при условии, что он не сталкивается с планетой). Проще говоря, это потому, что у него слишком много энергии, чтобы оставаться на орбите.

С учетом сказанного вы рассчитали скорость, которая удерживает вас на круговой орбите. Должно быть само собой разумеющимся, что вы не можете одновременно находиться на круговой орбите и покидать планету. Так ясно, что это не может быть также и скоростью убегания.

Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

ПОЖАР

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Риши Каккар

Немо

ПОЖАР

Немо

ПОЖАР

Алхимист

Джерри Ширмер

ПОЖАР

Джерри Ширмер

Ответы (5)

Очарование

ПОЖАР

Немо

Очарование

Очарование

Стивен

Сэмми Песчанка

Стивен

Сэмми Песчанка

ПОЖАР

Стивен

Стивен

Сэмми Песчанка

Стивен

Фарчер

ПОЖАР

Фарчер

ПОЖАР

Фарчер

Стивен

Крис