Матрицы и тензоры второго ранга — одно и то же?

Тензор второго порядка может быть представлен матрицей, так же как тензор первого порядка может быть представлен массивом. Но тензор — это нечто большее, чем просто расположение компонентов; нам также нужно включить то, как массив трансформируется при изменении базы. Итак, тензор — это n-мерный массив, удовлетворяющий определенному закону преобразования.

Итак, да, тензор третьего порядка можно представить в виде трехмерного массива чисел — в сочетании с соответствующим законом преобразования.

Матрицы часто впервые знакомят студентов с линейными преобразованиями, берущими векторы из$\mathbb{R}^n$и сопоставление их с векторами в$\mathbb{R}^m$. Данное линейное преобразование может быть представлено бесконечным числом различных матриц в зависимости от выбранных для него базисных векторов.$\mathbb{R}^n$а также$\mathbb{R}^m$, а четко определенный закон преобразования позволяет переписать линейную операцию для каждого выбора базисных векторов.

Тензоры второго ранга очень похожи, но есть одно важное отличие, которое возникает для приложений, в которых рассматриваются неевклидовы (неплоские) метрики расстояния, такие как общая теория относительности. Тензоры 2-го ранга могут отображать не только$\mathbb{R}^n$к$\mathbb{R}^m$, но также может отображаться между двойственными пространствами любого$\mathbb{R}^n$или же$\mathbb{R}^m$. Закон преобразования для тензоров аналогичен тому, который впервые был изучен для линейных операторов, но допускает дополнительную гибкость, позволяя тензору переключаться между действием на двойственные пространства или нет.

Обратите внимание, что для евклидовых метрик расстояния двойственное пространство и исходное векторное пространство совпадают, поэтому в этом случае это различие не имеет значения.

Более того, тензоры 2-го ранга могут выступать не только как отображения из одного векторного пространства в другое. Операция тензорного «сжатия» (обобщение скалярного произведения для векторов) позволяет тензорам 2-го ранга воздействовать на другие тензоры второго ранга для получения скаляра. Этот процесс сжатия можно обобщить для тензоров более высокой размерности, что позволяет сжимать тензоры разных рангов для получения продуктов разных рангов.

Чтобы повторить другой ответ, опубликованный здесь, тензор 2-го ранга в любое время действительно может быть представлен матрицей, что просто означает строки и столбцы чисел на странице. Что я пытаюсь сделать, так это предложить различие между матрицами, поскольку они впервые представлены для представления линейных операторов из векторных пространств, и матрицами, которые представляют несколько более гибкие объекты, которые я описал.

Матрица — это частный случай тензора второго ранга с 1 индексом вверх и 1 индексом вниз. Он переводит векторы в векторы (сокращая верхний индекс вектора с нижним индексом тензора), ковекторы в ковекторы (сокращая нижний индекс ковектора с верхним индексом тензора) и, вообще говоря, он может перевести m верхний/n-нижний тензор либо в m-верхний/n-нижний, воздействуя на один из верхних индексов, либо в m-верхний/n-нижний, воздействуя на один из нижних индексов, либо в m-1 -верхний/n-1-нижний путем сокращения с одним верхним и одним нижним индексами.

Нет никакой пользы от матричной записи, если вы знаете тензоры, это особый случай, когда операция тензорного произведения плюс одно сокращение создает объект того же типа. Тензорная нотация обобщает векторное исчисление и линейную алгебру, чтобы правильно создавать математические объекты.

Строго говоря, матрицы и тензоры ранга 2 — не совсем одно и то же, но существует тесное соответствие, которое работает для большинства практических целей, с которыми сталкиваются физики.

Матрица — это двумерный массив чисел (или значений из некоторого поля или кольца). Тензор 2-го ранга — это линейная карта из двух векторных пространств над некоторым полем, таким как действительные числа, в это поле. Если векторные пространства конечномерны, то вы можете выбрать основу для каждого из них и сформировать матрицу компонентов. Это соответствие между матрицами и тензорами ранга 2 является взаимно-однозначным, поэтому вы можете рассматривать их как одно и то же, но, строго говоря, они просто эквивалентны.

Вы можете придумать случаи бесконечномерных векторных пространств, где невозможно осмысленное представление в терминах матриц для соответствующих тензоров, даже когда поле представляет собой действительные числа, а матрицы могут иметь бесконечное число компонентов. Некоторые из этих примеров имеют отношение к физике, например, когда векторные пространства являются функционалами, размерность которых (в проигрышном выражении) несчетно бесконечна. По этой причине рекомендуется помнить о различиях между тем, чем на самом деле являются тензоры и матрицы массивов, даже если вы всего лишь физик.

Я знаю, что это старая тема. Но я думаю, что все еще не хватает одного момента, поэтому, если люди все еще приходят к этому посту для справки, позвольте мне попробовать.

Я хочу рассуждать с математической точки зрения, которая несколько геометрична. Мы хотим взять векторы из некоторого векторного пространства$V$. Особо требовать не будем$V$быть$\mathbb{R}^n$для некоторого измерения$n$, но скажем для простоты, что$V$является конечномерным. Есть два разных вида операций над этим векторным пространством, которые имеют отношение к обычному тензорному изображению.$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$тензоры, которые легко описываются без технической путаницы, а другие представляют собой линейные карты, описываемые$\begin{pmatrix}1\\1 \end{pmatrix}$тензоры, которые требуют технического беспорядка, поэтому мы здесь кратки. Нам также нужно будет поговорить о базах. Итак, пойдем в три шага.

Преждевременный постскриптум: это выросло немного непропорционально. Я попытался уточнить, потому что знаю, что мои ученики часто борются с махровыми и краткими ответами, которые не растягивают важные реплики.

Хорошим источником, чтобы разобраться в этом вопросе (и очень удобочитаемым), является « Введение в тензоры и теорию групп для физиков» Надира Дживанджи .

$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$Тензоры

1. Без особых церемоний мы можем определить$\begin{pmatrix}0\\2 \end{pmatrix}$-тензор должен быть билинейным отображением $T$который ест два вектора$v$а также$w \in V$и выдает реальное число$T(v,w)$. Написано более формально: $$T : V \times V \to \mathbb{R}, \qquad (v,w) \mapsto T(v,w) \in \mathbb{R}.$$ Для тех, кто боится математических обозначений, не волнуйтесь, это действительно просто проза, написанная выше. Слово билинейный особенно важно. Это означает, что тензор линеен по обоим аргументам. В противном случае это была бы довольно случайная карта, но именно линейность придает тензорам их характерные свойства.

Это оно. Вот что такое тензор: он берет два вектора и выдает вещественное число. И делает это линейно.

Это определение не зависит от пространства векторов$V$, тензоры могут быть описаны на любом пространстве векторов. Пример для векторного пространства$V$может быть пространством всех возможных скоростей, которые может иметь бильярдный шар (это векторное пространство, потому что вы можете растягивать и добавлять скорости, и на самом деле не так уж много для некоторого множества, которое можно квалифицировать как векторное пространство). А тензор? Как упоминалось выше, подойдет любая многоуровневая карта, но что-то значимое для физики может быть «тензором кинетической энергии».

Теперь обратите внимание на одну вещь: никогда в этом определении или примере мы не упоминали ничего о координатах или$\mathbb{R}^3$. Это важно. Тензор — это объект, который может существовать во всем своем великолепии, свободен и не зависит ни от какой системы координат. Для теоретика (или любого физика) это приятный результат: не существует эксперимента, который мог бы определить, является ли система координат мира декартовой, полярной или сферической. Это плод человеческого разума. Хорошая теория не должна начинаться с произвольного выбора, лучше, если тензоры будут четко определенными объектами, прежде чем мы потеряемся в системах координат. И это то, что мы сделали здесь.

Выбор основы

Но опять же, наш разум довольно хорошо работает в системах координат, или, по крайней мере, он был хорошо обучен этому. Так что же произойдет, если мы выберем базис? Тогда векторы$v,w \in V$можно разложить в сумму по набору базисных векторов$\{e_i\}$умножить на соответствующие коэффициенты масштабирования$\{v^i\}$для каждого из них. С соглашением о сумме:

А теперь придумывается совершенно произвольный способ хранения всей этой информации: матрицы. Сама по себе матрица представляет собой не что иное, как таблицу (исторически они какое-то время даже назывались таблицами). Простые электронные таблицы MS-Excel. Но мотивированные уравнением, которое мы только что вывели, людям пришла в голову идея: эй, давайте устроим$v^i$а также$w^j$в эти строки и столбцы чисел и давайте расположим числа$T_{ij}$в этот красивый квадратный блок чисел. И чтобы помнить, как с ними обращаться, давайте представим способ умножения их друг на друга.

Матрица (включая квадратные матрицы в$\mathbb{R}^{n \times n}$а также матрицы-строки в$\mathbb{R}^{1\times n}$и матрицы столбцов в$\mathbb{R}^{n \times 1}$, обычно называемые векторами), как упоминалось в другом ответе, не что иное, как способ хранения информации. Правило умножения матриц («столбец умножения строк») является дополнительной информацией вдобавок к этому. Это просто способ правильно обрабатывать информацию, хранящуюся в матрице и векторах, которая представляет собой голые действительные числа.

В этом смысле мы считаем, что векторы лежат в некотором$\mathbb{R}^n$и тензоры должны быть матрицами в$\mathbb{R}^{n \times n}$. Векторы на самом деле лежат в некоторых$n$-мерное векторное пространство$V$, а тензоры — это билинейные карты, которые берут два из этих векторов и дают действительное число. Однако после выбора основы$\{e_i\} \subset V$, вся информация, необходимая для восстановления полного вектора$v$являются его компонентами$\{v^i\}$в этом заданном базисе, и все, что нам нужно, чтобы полностью знать тензор$T$являются его значениями на базисных векторах$\{T_{ij}\} = \{T(e_i,e_j) \}$. Это отодвигает основу под ковер, но затем, когда кто-то меняет базу, происходят странные вещи.

Тензоры как линейные карты

Так почему же большинство ответов здесь сосредоточены вокруг тензоров, являющихся линейными картами, которые принимают вектор в$\mathbb{R}^n$к другому вектору в$\mathbb{R}^n$? Потому что, конечно, есть близкое сходство.

Мы снова смотрим на координатное представление тензорного умножения. Там мы написали

В этом смысле мы находим новый способ понимания тензора. Вместо того, чтобы просто взять два вектора и вернуть действительное число, мы можем считать, что тензор принимает вектор$w$, линейно преобразовать его в новый вектор$u$, а затем вычислить внутренний продукт между$v$а также$u$.

В стороне: на этом этапе я упустил несколько тонкостей, потому что для получения полной картины нам нужно было бы продолжить разговор о внутреннем продукте. Это связано с тем, что скалярный продукт определяет метрический тензор (или наоборот), который нам все еще нужен, если мы хотим получить из ковариантных компонент$u_i$к контравариантным компонентам$u^i = \eta^{ij} u_j$. Мы не будем здесь останавливаться на этом. Я полагаю, что это уже где-то обсуждалось.

Это моя любимая мозоль. В начале своей карьеры я был геометром. Большая часть обсуждения выше верна. Тензоры различных рангов являются линейными преобразованиями. Однако тензор является инвариантом относительно выбранных систем координат.

Самый простой способ думать об этом - это вектор, который представляет собой величину и направление и может быть выражен в виде массива только после выбора системы координат. Точно так же тензор ранга 2 может быть выражен в виде матрицы только при выборе системы координат.

Вот почему он используется в физике наподобие тензора энергии напряжения или тензора показателя преломления анизотропных кристаллов. Именно эта координатная инвариантность делает его полезным для описания физических свойств.

Нет. Матрица может означать любое количество вещей, список чисел, символов или название фильма. Но он никогда не может быть тензором. Матрицы могут использоваться только как определенные представления тензоров, но как таковые они скрывают все геометрические свойства тензоров, которые являются просто полилинейными функциями векторов.

Они кажутся такими похожими, но...

Часто возникает путаница в отношении индексов, когда мы преобразуем тензор ранга 2,$T_{ij}$. Поскольку матрицы могут представлять тензоры ранга 2, заманчиво просто начать умножать. Но порядок индексов имеет решающее значение.

Теперь обычное умножение матриц,$C=AB$суммы по второму индексу A и первому индексу B:$C_{ab}=A_{a\cR{c}}B_{\cR{c}b}$, куда$\cR{c}$индекс суммирования («фиктивный индекс»).

Если мы используем второй индекс B,$D_{ab}=A_{a\cR{c}}B_{b\cR{c}}$, то что мы получаем$D=AB^T$.

Мы читаем в учебнике, что «T преобразуется как тензор при вращении R» означает, что$T_{ab} \rightarrow T'_{ab} = R_{a\cR{c}} R_{b\cG{d}} T_{\cR{c}\cG{d}}$. Важно отметить , что один R работает с первым индексом, а другой R работает со вторым индексом.

Поэтому это не означает$T \rightarrow T'=RRT$в матричной записи. Неправильный!

Правильное матричное обозначение$T \rightarrow T'=RTR^T$.

Увидеть корреспонденцию может быть сложно, потерявшись в указателях. Воспользуйтесь посредником$D_{bc}=R_{b\cR{d}}T_{c\cR{d}}$(по аналогии с выше это$D=RT^T$) чтобы$R_{a\cR{c}} R_{b\cG{d}} T_{\cR{c}\cG{d}}$становится$R_{a\cR{c}} D_{b\cR{c}}$. Это также суммирует второй индекс D, поэтому он равен$RD^T$. Подставьте значение$D:RD^T=R(RT^T)^T=R(T^T)^T(R)^T=RTR^T.$

1. Все скаляры не являются тензорами, хотя все тензоры ранга 0 являются скалярами (см. ниже).
2. Все векторы не являются тензорами, хотя все тензоры ранга 1 являются векторами (см. ниже).
3. Все матрицы не являются тензорами, хотя все тензоры ранга 2 являются матрицами.

Пример для 3: Матрица M (m11=x, m12=-y, m21=x^2, m22=-y^2). Эта матрица не является тензорным рангом 2. Проверка матрицы M на матрицу вращения.