Как рассчитать, достаточно ли прочна полка, чтобы выдержать падающую кошку?

Если объект ускоряется на расстоянии$d_1$с постоянной силой$F_1$, затем замедляется на расстоянии$d_2$с постоянной силой$F_2$, то закон сохранения энергии дал бы нам, что

из чего следовало бы, что

Другими словами - если кошка способна амортизировать удар своего падения на большее расстояние, сила будет меньше. Конечно, когда у них есть возможность, они прекрасно это делают, сначала вытягивая лапы, а затем приседая: это прекрасно показано в этом ответе , из которого я воспроизвожу картинку (первоначально Этьен-Жюль Марей):

Математически, если общее падение составляет 2 м и кошка может поглотить удар на расстоянии 20 см (примерно, насколько центр масс опускается от первого контакта до неподвижной кошки), то средняя сила при приземлении в десять раз превышает ее вес. .

Обратите внимание, что «рейтинг» полки предполагает возможность «шлепнуть» номинальный вес — если вы взяли 20-килограммовую книгу и поместили ее на полку, рассчитанную на 20 кг, вы не ожидали, что полка сломается ( хотя на короткое время вы приложите усилие, намного превышающее 200 Н). Это показывает, что вам нужно проводить различие между статическим и динамическим пределом: для таких вещей, как полки, они обычно определяют предел загрузки как «самый большой предмет, который вы должны положить на эту полку», прекрасно зная, что, когда вы кладете его грубо, мгновенная сила будет намного больше.

Если нашел интересную ссылку от Composite Panel Association - они дают правила проектирования полок, в том числе подробные расчеты местных напряжений и прочности на разрыв ДСП. Не зная подробностей установки вашей полки, я не могу комментировать применимость этих расчетов, но вы можете найти там полезную информацию. Например, следует отметить, что нагрузка на полку зависит от расстояния между опорами, а также от того, как поддерживаются края. Если вы беспокоитесь, вы можете создать центральную опору для своей полки и увеличить грузоподъемность более чем в 2 раза. Также обратите внимание, что правила проектирования, которые они дают, предназначены для удержания прогиба полок ниже небольшой величины (0,1 дюйма для 24-дюймовой полки или около 0,4% пролета). Разрыв произойдет при гораздо больших прогибах.

Я думаю, что ваш кот будет в безопасности. Но вы могли бы дать несколько уроков этикета его собратьям-кошкам. Столкнуть его с верхней полки? Действительно?

Когда кошка покинет верхнюю полку, она будет ускорена гравитационным полем Земли по направлению к нижней полке со скоростью 9,8 метра в секунду в секунду (9,8 м/сек^2). Если предположить, что его начальная скорость равна нулю, то в момент приземления кота на нижний уступ его скорость будет 19,6 м/сек .

Импульс кошки на нижней полке будет 6,5 кг * 19,6 м/с = 127,4 кг м/с .

Предположим, что ноги кошки полностью вытянуты на 15 сантиметров. Когда кошка приземлится, ее ноги подвернутся под ней, уменьшив их эффективную длину до 5 сантиметров. Кошка замедлится с 19,6 м/с до нуля, рухнув на 10 сантиметров. Его средняя скорость при торможении будет 9,8 м/сек, поэтому полная остановка на нижней полке займет около 0,1 секунды , а его замедление составит 19,6/0,1 = 196 м/сек^2 .

Теорема об импульсе-импульсе говорит, что импульс, который полка применяет к кошке, будет равен изменению импульса кошки. Когда импульс упадет со 127,4 кг м/с до нуля, импульс составит 127,4 ньютон-секунды .

Мы можем вывести силу из уравнения импульс-импульс:

Сила * т = м * ∆v

Сила * 0,1 сек = 6,5 кг * -19,6 м/сек

Сила = -127,4 кг м/сек / 0,1 = -1274 ньютона

Давайте сравним силу, полученную из теоремы об импульсе-импульсе, с силой, которую мы можем вывести из 2-го закона движения Ньютона: Сила = 6,5 кг * -196 м/с^2 = -1274 ньютона.

3-й закон движения Ньютона гласит, что сила, приложенная к кошке, будет приложена кошкой к нижней полке.

Следовательно, шельф будет нести силу в 1274 ньютона. Поскольку полка была рассчитана на нагрузку 20 кг * 9,8 = 196 ньютонов, полка не выдержит удара кошки, если кошка, благодаря превосходному мышечному тонусу и реакции, не продлит время торможения.

Вам нужно либо положить на полку толстую пенопластовую прокладку, чтобы увеличить время торможения, либо установить гораздо более прочную полку.

Внимание: мое предположение о замедлении кота может быть неверным.

Вы должны будете оценить, как быстро кошка переходит от полной скорости к полной остановке. Затем, зная начальную скорость кота, когда он достигает полки, используйте теорему об импульсе-импульсе. Уравнение:

Это достаточно информации, или вам нужно дополнительное уравнение для расчета начальной скорости кота?