Имея проблемы с энтропией, термодинамикой

Для обратимых процессов можно вывести, что

$$d S = \frac{\delta Q}{T}$$ (обратите внимание, что это $dS$, нет $\delta S$, в левой части, потому что $S$само по себе есть вполне определенное свойство состояния, а именно количество беспорядка в системе, а не "скорость хаотичности", как вы ошибочно написали; с другой стороны, нет уникального $Q$«общее аккумулированное тепло», которое определяло бы текущее состояние системы, поскольку мы не знаем, «откуда» это тепло будет отсчитываться, а только изменения $Q$четко определены, поэтому мы используем $\delta$и не $d$) вплоть до некоторых изменений соглашений или переопределений переменных.

Почему можно выбрать соглашения, в которых выполняется приведенное выше уравнение? Что ж, мы всегда можем передавать тепло в систему или из системы при (почти) той же температуре, что является обратимым. Когда мы обращаем такой нагрев на охлаждение, должна существовать функция состояния$S$который возвращается к исходному значению; если бы процессы были необратимыми, она должна была бы возрастать до более высокого уровня.

Теперь вопрос в том, как такое$S$и его изменения должны быть определены так, чтобы он обладал свойствами, требуемыми в предыдущем абзаце. Ясно, что это должно быть большое количество. Таким образом, чем больше тепла мы отвечаем, тем больше$dS$. Поскольку тепло всегда может проходить через промежуточную систему с той же температурой, не имеет значения, откуда и куда течет тепло.

Так и должно быть$dS=\delta Q / B(T)$где$B(T)$есть некая универсальная функция температуры (и ничего больше). Как эта функция$B(T)$можно определить с помощью любой системы, например идеального газа, которая очень проста.

Газ подчиняется$pV=nRT$, дифференциал тепла, поглощаемого при обратимом расширении, равен

$$\delta Q = C_v dT + p\, dV.$$ Этот дифференциал не является точным, что означает, что его нельзя записать в виде $dM$для некоторой функции состояния (фактически функции $p,V,T$и т. д.) $M$.

Мы хотим

$$dS = \frac{\delta Q}{B(T)} = \frac{C_v dT}{B(T)} + \frac{p\,dV}{B(T)}$$ быть точным дифференциалом чего-либо. Первый срок $C_v$умноженный на дифференциал некоторой функции $T$, что бы ни $B(T)$является. Однако второй срок $p\,dV/B(T)$является точным дифференциалом только в том случае, если непостоянный множитель $p$в числителе перед $dV$, отменяет. Так $B(T)$должно быть равно $p$раз функция $V$. Но поскольку это функция $pV/nR=T$в тот же момент он должен быть равен $pV/nR=T$, вплоть до общего масштабирования.

Таким образом, вплоть до свободы масштабирования температуры или энтропии на коэффициент (выбор единиц измерения), мы можем выбрать$B(T)=T$т.е. равна абсолютной температуре идеального газа. Нет нелинейной функции, такой как$B(T)=T^n$для$n\neq 1$было бы приемлемо. Для этого примера у нас было бы$B(T)=p^n$умножить на степень объема (умножить на константу), поэтому в знаменателе мы получим$p^n$который бы не отменил$p$в числителе, а отношение по-прежнему будет зависеть от$p$, оставив нас с$f(p)dV$что не является точным дифференциалом.

Приведенный выше расчет идеального газа был проще, чем другие, но, обладая практическим знанием микроскопической модели любой физической системы, мы могли использовать любую физическую систему для получения того же результата. Фактически, в статистической физике, которая объясняет тепловые явления с точки зрения статистических свойств многих атомов и их колебаний, можно вывести$\delta Q = T\,dS$вообще для всех обратимых процессов. Но я боюсь, что статистическая физика — хороший материал только для аудитории колледжа — но я, конечно, не хочу недооценивать вас.

Во-первых, энтропия как «скорость изменения хаоса» — плохое определение и источник вашей путаницы. Забудь это. Во-вторых, определение вашей книги является правильным в том, что касается термодинамики.

Однако произошло то, что в XIX веке теоретики пытались дать механистическое объяснение законам термодинамики. Людвиг Больцман предложил микроскопическое определение энтропии как количество микросостояний, реализующих определенное макросостояние. Тогда можно показать, что для некоторых идеализированных систем это действительно соответствует обычному термодинамическому определению.

Затем интерпретация Больцмана приводит к пониманию того, что второй закон термодинамики на самом деле описывает эволюцию от макросостояний, которые имеют мало микрореализаций, к макросостояниям, которые имеют много микрореализаций, что означает, что они более вероятны. Другими словами, второй закон термодинамики понимается как статистический закон.

Так вот, в некоторых работах Больцмана упоминается хаос, особенно молекулярный хаос. Это гипотеза, выдвинутая Больцманом для вывода некоего уравнения, ныне носящего его имя. Позже было доказано, что это предположение не было необходимым, но тем не менее оно привело к большой путанице в том, что пытался сказать Больцман.

Раздражающие вещи и глубокие понятия

По сути, то, что вы называете «раздражающей вещью», раздражало ученых во второй половине XIX века. Клаузиус обнаружил, что существует величина (позднее названная энтропией).$S$) такой, что для любого преобразования$\delta S\ge \frac T{\delta S}$, с равенством только для обратимых преобразований. Но потребовалось время и много горячих дискуссий, чтобы прийти к соглашению о том, что такое энтропия. В настоящее время я не думаю, что энтропия является чем-то таинственным для современных физиков, но эта глубокая концепция по-прежнему вызывает острые дискуссии, в основном о соответствующих метафорах, используемых для ее преподавания, о словах, используемых для ее описания без уравнений или философских вопросов. Если вы хотите узнать об этом больше, я могу посоветовать вам прочитать статью об энтропии в Википедии и ссылки в ней. Но будьте осторожны, чтение может длиться часами ;-)

Об отношении между «хаосом» или «беспорядком» и температурой и теплом.

Вы можете прочитать ответ Любоша Мотла, чтобы получить некоторые идеи об уравнениях, связывающих температуру и тепло с энтропией. Я постараюсь дать вам более качественный ответ. Следующий ответ, конечно, гораздо менее точен и строг, чем ответ Любоша, но я надеюсь, что он поможет вам создать некоторую интуицию в отношении этих концепций.

Энтропия$S$системы теперь понимается как (логарифмическая) мера числа микроскопических состояний системы, соответствующих одному макроскопическому состоянию. Например, если вы описываете камешек, вас не будет интересовать индивидуальное состояние каждого из его примерно 10$^{20}$атомы. У вас есть много возможных таких «микросостояний», соответствующих одному и тому же макроскопическому состоянию (камешек находится в вашем левом ботинке, в этом положении, в покое и имеет температуру 27 ° C = 300 K). Это разнообразие «невидимых» состояний что люди имеют в виду, когда говорят о "хаосе" и "беспорядке".

Теперь все эти микросостояния можно описать статистически. Например, температура есть (почти) не что иное, как средняя энергия невидимых «степеней» свободы атомов в гальке. Например, атомы вибрируют, и эти вибрации несут некоторую энергию. Конечно, точная амплитуда и фаза колебаний 12049847193587392384-го атома не влияют на макросостояние камушка. Но тот факт, что в среднем все атомы колеблются быстро или нет, можно почувствовать на макроскопическом уровне. Это то, что мы называем температурой. Тот факт, что эта энергия распределена между многими атомами, делает ее в некотором смысле более трудной для манипулирования, чем макроскопический потенциал или кинетическую энергию гальки, и именно эта трудность измеряется вторым законом термодинамики.

Допустим, вы помещаете камешек в контакт с другим телом при другой температуре (скажем, с пальцем ноги, при 37°C = 310 K). Если вы посмотрите на атомный масштаб, вы увидите множество атомов и молекул, вибрирующих с разной скоростью и соединяющихся друг с другом с передачей энергии во всех возможных направлениях. Теперь, если вы посмотрите на это статистически, вы увидите, что атомы более холодного тела будут иметь повышенную среднюю энергию (т.е. температуру), в то время как атомы более горячего тела понизят среднюю энергию. В долгосрочной перспективе все атомы будут иметь одинаковую среднюю энергию. Этот «беспорядочный» перенос энергии и есть то, что мы называем теплом.

Эти три понятия (энтропия, температура и теплота) по своему определению тесно связаны со статистической природой макроскопического мира, и поэтому они тесно связаны. Исторически статистическая природа температуры и тепла была неизвестна, и поэтому энтропия так раздражала.

В дополнение к другим ответам я хочу указать, что макроскопическое и правильное определение энтропии довольно молодо: энтропия из адиабатической доступности Либа и Ингвасона в 2003 году.

Менее математическая версия их публикации написана Тессом в «Принципе энтропии» , которая не требует предварительных знаний в статистической физике.

ОП задает два вопроса: откуда берется определение энтропии и какова связь формулы энтропии с беспорядком. Простой физический пример ответит на второй вопрос, который я добавлю к тому, что написали другие авторы.

Резюмируя немного из ответа профессора Мотла. Мы начнем с термодинамики, нашего изучения того, как$T$и$Q$варьируются между различными состояниями равновесия, в данном примере, льда, воды и пара. Мы находим, что как$T$и$Q$отличаться,$1/T$является «интегрирующим фактором» для$\delta Q$. Эта формальность привела к определению величины$S$энтропии по формуле$\Delta S = \int {\delta Q \over T }$. Итак, теперь у нас есть формула, но нет интерпретации.

Рассмотрим глыбу льда точно$0^\circ$C (и давление в одну атмосферу). Он находится в состоянии равновесия сам с собой, но теперь мы будем постепенно добавлять к нему тепло. Он остается при той же температуре, хотя и обладает все большим и большим количеством теплоты, но плавится. Количество производимой жидкой воды точно пропорционально добавленному теплу.$\Delta Q$до точки, в которой все это расплавится, и температура не повышается до тех пор, пока не закончится все плавление. (Кроме того, каждое состояние, частично лед и частично жидкость, находится в равновесии само с собой: если мы перестанем добавлять тепло, оно просто останется там, при$0^\circ$C, без дальнейшего плавления, но и без повторного замораживания).

Но ясно, что молекулы кристаллического льда находятся в относительно упорядоченном состоянии, в то время как молекулы, блуждающие в жидкости, находятся в менее упорядоченном состоянии, поскольку ситуация стала текучей, а не кристально чистой. Ясно, что степень увеличения беспорядка точно пропорциональна количеству производимой жидкости, которое, как мы только что видели, было пропорционально$\Delta Q$. Но по определению изменения энтропии$S$,$\Delta S$также пропорциональна$\Delta Q$с$T$остается постоянным в течение этого преобразования. Поэтому интуитивно понятно, что$\Delta S$пропорциональна увеличению беспорядка.

Точно такой же вывод следует, если мы рассмотрим частный случай кипящей воды. Чем больше тепла мы вливаем в систему кипящей воды, тем больше ее температура не повышается, но образуется больше пара, который более неупорядочен. Итак, опять же, увеличение энтропии точно пропорционально увеличению беспорядка.

Эти две особые ситуации показывают, что после определения энтропии по формуле она пропорциональна увеличению беспорядка, по крайней мере, в таких случаях. Но поскольку нет точного математического определения «количества» беспорядка, мы можем также сделать$S$точное определение количества беспорядка в целом: мы экстраполируем его из этих двух ситуаций, используя уже имеющуюся у нас формулу,

$$\Delta S = \int {\delta Q \over T }.$$

Позднее такие ученые, как Максвелл и Больцман, захотели связать термодинамику с динамикой атомов, составляющих лед. В созданной ими более продвинутой теории статистической механики можно предложить количественную меру беспорядка:$S = k\log \Omega$, и тогда можно доказать, что это согласуется с нашей формулой для$\Delta S$.