Где я ошибаюсь, выводя первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме?

Тот факт, что два интеграла по одному и тому же объему равны, не означает, что подынтегральные выражения равны. Однако если интегральное соотношение

$$\int _V \nabla \cdot \mathbf{E} \ dV = \int _V \rho \ dV$$

верно для любого объема, то его можно применить к бесконечно малому объему,$V_{i}$, для которого$\rho$является константой. Тогда вы получите отношение

$$\int _{V_i} \nabla \cdot \mathbf{E} - \rho \ dV = 0$$

Это может быть применено везде, поточечно, и дает дифференциальную форму.

Похоже, вы используете соглашение, в котором незаштрихованные координаты представляют собой точку пространства, которая вас «интересует», а заштрихованные координаты относятся к координатам плотности заряда. Так, например, закон Кулона становится

$$\mathbf E(\mathbf r)=\iiint\frac{\rho(\mathbf r')(\mathbf r-\mathbf r')}{|\mathbf r-\mathbf r'|^3}\ \text dV'$$

Однако для того, что вы пытаетесь сделать, различие между загрунтованными и незагрунтованными координатами не имеет значения. Это потому, что для закона Гаусса в интегральной форме, с которого вы начинаете, нам не нужно различать эти две пространственные координаты. Вы определяете поверхность и смотрите на поле на этой поверхности и на заряд, содержащийся внутри этой поверхности. Поэтому вам нужно беспокоиться только об одном наборе пространственных координат, а не о двух.

В любом случае, возможно, вам будет лучше рассмотреть один набор координат для чего-то вроде закона Кулона. Указываем фиксированную точку в пространстве$\mathbf r_0= x_0\hat x+y_0\hat y+z_0\hat z$а затем проинтегрировать по пространственным координатам, содержащим наше распределение заряда:

$$\mathbf E(\mathbf r_0)=\iiint\frac{\rho(\mathbf r)(\mathbf r_0-\mathbf r)}{|\mathbf r_0-\mathbf r|^3}\ \text dV$$

На самом деле мы используем здесь только один набор координат вместе с указанным членом этих координат.

Итак, собирая здесь весь ваш вывод, мы начнем с закона Гаусса в интегральной форме:

$$\displaystyle\oint\mathbf E(\mathbf r)\cdot\text d\mathbf A=q_{enc}$$ где мы интегрируем по произвольной поверхности слева, а справа — сколько заряда содержится на этой поверхности. Обратите внимание, что вложенный заряд — это не функция, это отдельное значение, основанное на выбранной нами поверхности. Также обратите внимание, что вектор бесконечно малой площади$\text d\mathbf A$и вектор$\mathbf r$относятся к одним и тем же пространственным координатам.

Затем мы используем теорему о расходимости слева и определение плотности заряда справа:

$$\iiint\nabla\cdot\mathbf E(\mathbf r)\ \text dV=\iiint\rho(\mathbf r)\ \text dV$$

Обратите внимание, что эти два интеграла относятся к одному и тому же объему, то есть к объему поверхности, которую мы выбрали ранее. Как упоминалось в других ответах, поскольку выбранная нами поверхность была произвольной, мы можем сказать, что эти интегранты эквивалентны.

Обратите внимание, что$q$, вообще говоря, не является функцией пространственных координат. Плотность$\rho$является. Таким образом, правая часть уравнения Максвелла на самом деле равна

$$\int \rho(x, y, z) dV$$