Формализация квантовой теории поля [дубликат]

Есть ряд математиков высокого уровня, которые работают над тем, чтобы дать более точное с математической точки зрения описание пертурбативной КТП и процедуры перенормировки. Например, есть недавняя статья Борчердса http://arxiv.org/pdf/1008.0129 , работа Конна и Краймера по алгебрам Хопфа и работа Блоха и Краймера по смешанным структурам Ходжа и перенормировке http://www.math. uchicago.edu/~bloch/monodromy.pdfПросто назвать несколько. Честно говоря, я не достаточно хорошо разбираюсь в математике, чтобы судить о том, что было сделано в этих статьях, но я думаю, что в КТП есть некоторые проблемы, которые, вероятно, будут связаны с довольно мощной математикой того типа, который разрабатывается в этих статьях. Например, нынешняя попытка переформулировать N=4 SYM в терминах грассманианов, по-видимому, имеет какое-то отношение к довольно глубоким математическим объектам, называемым мотивами. Результаты по степени трансцендентности, которые проявляются в пертурбативных амплитудах N=4 SYM, также кажутся за пределами того, что физики действительно понимают, и я верю в присутствие трансцендентных объектов (таких как$\zeta(3)$) в амплитудах КТП обеспечивает некоторую мотивацию для работы Блоха и Креймера. Я не эксперт в этом вопросе, так что, возможно, кто-то еще даст более полное объяснение и дополнительные ссылки.

Редактировать: Еще одна ссылка, которая ближе к духу исходного вопроса, - это книга Костелло, находящаяся в стадии разработки, по пертурбативной квантовой теории поля, рассматриваемой с точки зрения теории Вильсона, эффективной теории поля. Заметки доступны в Интернете по адресу http://www.math.northwestern.edu/~costello/renormalization.

Вопрос здесь в том, как организовать ответ. Можно дать имена, но я надеюсь, что смогу дать некоторый концептуальный порядок. Надеюсь, другие ответы найдут другие способы организовать свой ответ.

Аксиомы Вайтмана являются классическими. Здесь я использую подход, заключающийся в организации того, как другие подходы соотносятся с аксиомами Вайтмана, даже если они не являются аксиоматическими. Полезную критику аксиом Вайтмана можно найти в Streater RF, Rep. Prog. физ. 1975 38 771-846. Более поздней является оценка Фреденхагена, Ререна и Зайлера «Квантовая теория поля: где мы находимся» на http://arxiv.org/abs/hep-th/0603155 , которую я рекомендую. Однако в моей схеме подход, о котором вы особенно спрашиваете, формализации ренормализационной группы, не фигурирует, потому что, как вы говорите, они имеют совершенно другую отправную точку. Я бы сказал, что отправной точкой, возможно, является концепция интегралов Фейнмана, а не ренормализационной группы как таковой, но я бы также сказал, что это каламбур.

Существует большой вопрос, чего мы надеемся достичь с помощью аксиоматизации. (1) Мы можем ослабить аксиомы, чтобы у нас было больше моделей, некоторые из которых могли бы быть полезны в физике, но какие из них мы должны выяснять в каждом конкретном случае. Это делает инженерное дело несколько донкихотским. (2) Мы можем ужесточить аксиомы, заявив, что все модели полезны в физике, но некоторые физически полезные модели могут быть исключены. Математики часто счастливы работать с аксиомами, которые физику показались бы слишком жесткими.

Итак, аксиомы Вайтмана, более-менее изложенные Хаагом в «Локальной квантовой физике»:

1. Государственное пространство(a) является сепарабельным гильбертовым пространством. Среди прочего, есть люди, пытающиеся использовать неассоциативную алгебру. (b) который поддерживает представление группы Пуанкаре. Есть люди, занимающиеся QG, QFT на CST и множеством способов нарушения лоренцевской симметрии в малых масштабах. (c) Существует единственное инвариантное состояние Пуанкаре. Термальные секторы этому не удовлетворяют. Неуникальные вакуумы — старый фаворит, но состояние вакуума широко распространено в физике элементарных частиц. (d) Спектр генератора трансляций ограничен закрытым передним световым конусом. Это слон, имхо. В основе этого лежит «стабильность», которая не имеет аксиоматической формулировки. Вера в то, что условие спектра необходимо для устойчивости, может основываться на классическом мышлении, в частности, на примате гамильтониана или лагранжиана.

2. Наблюдаемые(которые неявным образом соответствуют некоторым образом статистике экспериментальных данных) (а) Являются операторнозначными распределениями. Люди ввели другие обобщенные функциональные пространства. Хааг-Кастлер ужесточает это до ограниченных операторов, но отображение областей пространства-времени в операторы слабее. В физике элементарных частиц S-матрица, в которой обсуждаются переходы между состояниями свободного поля на времяподобных гиперплоскостях при t = +/-бесконечности, десятилетиями была высшим наблюдаемым: пытаясь согласовать это с лоренц-инвариантными операторнозначными распределениями аксиомы Вайтмана практически убили последних. Физика конденсированного состояния, оптика и т. д. очень серьезно относятся к корреляционным функциям, что, как мне кажется, лежит в основе раскола между физиками-частицами и другими физиками. Еще один слон. б) эрмитовы. Там сложная структура. Люди также ввели кватернионы по-разному. (c) Поля преобразуются под действием группы Пуанкаре. Это идет с 1b. (d) Наблюдаемые совместно измеряются при пространственно-подобном разделении, но, как правило, не поддаются совместному измерению при пространственно-подобном разделении. Отход от группы Пуанкаре почти всегда приводит к нарушению этой аксиомы. Случайные поля, которые всегда являются совместно измеряемыми операторно-значными распределениями, и различия между ними и КТП — это то, о чем я писал.

Подход Хаага-Кастлера до некоторой степени приводит состояния и наблюдаемые в единую структуру алгебр фон Неймана, но по существу остается различие между линейными операторами и их двойственными операторами. Отказ от разделения мира на состояния и наблюдаемые, что мы могли бы назвать «холизмом», делает физику почти невозможной. Всегда возникает вопрос, где именно следует поместить разрез Гейзенберга, но прагматично мы просто поместим его куда- нибудь . Белл пытается возвести этот круг в квадрат, продолжая заниматься физикой в ​​своем «Против «измерения»», а Бом почти оставил физику позади. Есть люди, которые пытаются делать такие вещи, но я нахожу очень мало полезного.

Возвращаясь к земле, также возникает вопрос о том, как мы деформируем систему, которую нам удалось сконструировать, чтобы она значительно отличалась интересными способами. Этого нет в аксиомах, но стандартом является деформация гамильтониана или лагранжиана. Однако оба метода требуют выбора одной или двух пространственноподобных гиперповерхностей, что противоречит духу группы Пуанкаре. Алгебраические деформации, другая известная альтернатива (другие?), едва ли оторвались от земли, потому что ограничения положительной энергии, микропричинности и примата S-матрицы до сих пор исключали их (я также опубликовал об этом, основываясь на Ли поля 1960-х гг.). Если мы деформируем алгебру наблюдаемых вместо динамики, возникает вопрос, что такое «устойчивость».

Возникает, конечно, вопрос, следует ли вообще исходить из аксиом Вайтмана, но где-то надо выбирать. Затем с Ли Смолином нужно отправиться в долины в надежде найти холм побольше. С наилучшими пожеланиями.

вы найдете много информации на nLab, открытой онлайн-вики группы людей, работающих над n-категориями. Вы действительно должны щелкнуть и посмотреть, что там есть, вот страница о «функциональном» POV на QFT, формализация картины Шредингера о QFT, включая TQFT:

• Функториальная квантовая теория поля

есть также страница о картине Гейзенберга, также известной как аксиоматическая квантовая теория поля:

• АКФТ

Программное обеспечение вики, написанное Жаком Дистлером, имеет удобную функцию поиска, используйте ее! Вы найдете много информации о (формализации) теории струн, а также о работах Джейкоба Лурье и др. на TQFT, длинная страница о CQFT и ссылки на недавнюю работу по изображению пертурбативной QFT и ренормализационных групп с точки зрения AQFT.

Ну, раз вы спрашивали конкретно о последнем, то вот прямая ссылка (но это тоже на nLab, вместе с кучей других ресурсов):

• Ромео Брунетти, Майкл Дуэтч, Клаус Фреденхаген: пертурбативная алгебраическая квантовая теория поля и ренормализационные группы .

Есть также информация о работе Конна по формализации стандартной модели и объединению ее с гравитацией за счет использования некоммутативных пространств.

Кроме того, если кто-то не найдет там ничего из того, что должно быть, идите на nForum и расскажите об этом тамошним людям!

Редактировать: Объяснение «некоммутативных пространств»: когда вы берете реальное гладкое многообразие, такое как пространство-время, например, это многообразие полностью описывается алгеброй карт. Фактически само определение многообразия может быть сделано таким образом. Каждое свойство многообразия соответствует свойству алгебры карт. Эта алгебра, конечно, коммутативна. Прекрасная идея Конна о «некоммутативной геометрии» состоит в том, что мы могли бы заменить коммутативную алгебру карт некоммутативной алгеброй операторов и посмотреть, какие геометрические понятия мы могли бы перенести из коммутативной в некоммутативную среду. Операторные алгебры ($C^*$-алгебры, если быть точнее) рассматриваются как некоммутативный аналог карт «некоммутативного» пространства. Конн проделал большую работу над стандартной моделью и пертурбативной КТП, используя эту идею, но, к сожалению, она математически довольно сложна. Хорошее введение для физиков см., например:

• Дж. Мадор: «Введение в некоммутативную дифференциальную геометрию и ее физические приложения», 2-е издание, Cambridge University Press.

В этой книге также объясняются идеи расширения классического пространства-времени с помощью некоммутативных аспектов.

Вот мой ответ с точки зрения физики конденсированного состояния:

Квантовая теория поля — это теория, описывающая критическую точку и окрестности критической точки модели решетки. (Модели решетки имеют строгое определение).

Таким образом, строго определить/классифицировать квантовые теории поля означает классифицировать все возможные критические точки решетчатых моделей, что является очень важным и очень сложным проектом.

(Можно заменить «решетчатую модель» выше на «непертурбативно регулируемую модель»).

Я думаю, что если вам нужен строгий подход к КТП, который включает в себя идеи перенормировки и эффективной теории поля, вы можете внимательно изучить работы школы «конструктивной КТП». Их работа над строгой евклидовой функциональной интеграцией во многом соответствует духу Уилсона.

Два примера, выбранные случайным образом из множества:

1) Евклидовы функциональные меры обычно строятся как цилиндрические меры на пространствах распределений. (Эти пространства распределений возникают как двойственные ядерным пространствам, которые являются векторными пространствами функций, которые получают свою топологию из семейств норм, которые количественно определяют, «насколько резко сконцентрирована эта функция?».) Эти меры строятся как пределы мер отсечки, как шкала отсечки стремится к нулю, а меры отсечки — это меры, построенные таким образом, что они аппроксимируют поток ренормализационной группы. Например, построение континуальной теории Янга-Миллса на торе выполняется с помощью довольно явной теории Янга-Миллса с блочной решеткой. То же самое для 2d Максвелла-Хиггса.

2) Чтобы быть честной мерой, цилиндрическая мера должна удовлетворять еще одному свойству: она должна быть счетно-аддитивной. В работе Глимма и Джаффе это свойство получено как следствие свойства, называемого «исчезновение на бесконечности», которое, по сути, утверждает, что мера нечувствительна к области полевого пространства, исследуемой пробными функциями, которые велики и очень четко локализованы. Это почти в точности то, что подразумевается под «эффективной» теорией поля.

Я думаю, они уже дали вам необходимые рекомендации до меня. Возвращаюсь к вашей фразе: "...вдобавок меня интересуют попытки определить КТП непертурбативно...". Думаю, максимум, на что можно надеяться, это частичный учет каких-то взаимодействий. В этом смысле эта часть непертурбативна. Это может дать нам лучшее начальное приближение (состояния входа/выхода); остальные взаимодействия могут быть учтены пертурбативно. Я начал такую ​​деятельность, см. здесь , но в моем подходе не появляется ренормгруппа, извините. Кроме того, это не формализация, а переформулировка КТП на основе физических явлений.

Пожалуйста, не убивайте меня за это!