Длина растяжения горизонтальных и вертикальных пружин

Представьте положение равновесия:

1. на рисунке А у вас есть сила$mg$приложенная к нижнему концу , и такая же сила, толкающая стену в противоположном направлении (если бы этой силы не существовало, пружина с присоединенной массой просто упала бы вниз под действием силы тяжести).
2. На рисунке B у вас есть сила$mg/2$действующая на правый конец пружины и одинаковая сила$mg/2$на другом конце.

Начните с фигуры А и спросите, какова сила, действующая на массу.$m$к концу весны? Мы знаем массу$m$неподвижен, поэтому результирующая сила на нем равна нулю, и мы знаем, что сила гравитации направлена ​​вниз$mg$. Таким образом, сила, действующая на массу со стороны пружины, равна направленной вверх силе$mg$поэтому натяжение пружины должно быть$mg$.

Теперь возьмите рисунок B и примените те же рассуждения к любой из масс на концах пружины. Тот же аргумент говорит нам, что натяжение пружины вдвое меньше. И именно поэтому удлинение пружины вдвое меньше.

Я подозреваю, что путаница возникает из-за того, что на рисунке А заманчиво игнорировать верхний конец пружины, т.е. соединение, к которому прикреплен верхний конец пружины. Однако соединение должно оказывать направленное вверх усилие на пружину$mg$чтобы сбалансировать направленную вниз силу$mg$оказываемое массой$m$. Таким образом, пружина имеет два блока массы.$m$, по одному на каждом конце, при этом одна масса тянет вниз, а другая тянет вверх. Теперь сравните с фигурой B, которая имеет массу$m/2$на каждом конце, и должно быть очевидно, почему расширение в B вдвое меньше.

Мне проще всего это понять следующим образом:

Рассмотрим «диаграмму свободного тела» каждой пружины в отдельности.

В первом случае сила$M*G$подтягивает пружину. Равная и противоположная сила притягивает пружину к потолку, чтобы обеспечить равновесие пружины (она не ускоряется). Следовательно, сила повсюду внутри пружины равна$M*G$. Из-за этого мы получаем$M*G=k*X$.

Во втором случае сила тянет слева от пружины, а сила тянет справа от пружины. Левая сила также должна поддерживать вес$\frac{m*g}{2}$. Правильная сила должна поддерживать правильный вес таким же образом. Следовательно, пружина находится в равновесии за счет этих двух противоположных сил. Повсюду внутри пружины чувствуется сила$\frac{m*g}{2}$. Из-за этого мы получаем$\frac{m*g}{2}= k*X$