Дирак однажды сказал, что перенормировка — это всего лишь временная процедура, и в наших представлениях должно произойти фундаментальное изменение. Что-то изменилось?

В настоящее время ведется множество проектов, и я попытаюсь подытожить их содержательными остротами, которые так же точны, как и мое собственное (по общему признанию, ограниченное) их понимание. Решения включают в себя:

1. Классическая перенормировка: важны предсказания, а перенормировка — это всего лишь единственный (правда, сложный) способ получить континуальный предел, который у нас есть.
2. Вильсоновская перенормировка: просто невозможно построить нетривиальную теорию, которая не является низкоэнергетической эффективной теорией, а неперенормируемые константы — это те константы, которые не влияют на низкоэнергетические эффективные теории.
3. Теория струн: все это 4-мерное пространство-время является иллюзией, построенной из взаимодействия взаимодействующих 2-мерных пространств-времен (струн). Поскольку все взаимодействия перенормируемы в двумерном пространстве, проблемы исчезают (хотя есть много компактифицированных пространственных измерений, которые нам еще предстоит увидеть).
4. Петлевая квантовая гравитация: проблема возникает из-за ограничения континуума в пространстве-времени, так что давайте вообще отбросим идею континуума.

Я не нахожу ни один из этих подходов особенно удовлетворительным. Я лично склоняюсь к подходу «больше производных», потому что он предполагает наименьшее количество технических изменений, но требует огромных философских изменений. Причина этого философского изменения проистекает из требования, чтобы теория была лоренц-инвариантной; в принципе можно было бы сделать теории не просто перенормируемыми, а УФ-конечными, добавив еще несколько пространственных производных. Однако из-за лоренц-инвариантности добавление большего количества производных по пространству обязательно влечет за собой добавление большего количества производных по времени. Остроградский показал только в классической физике, что наличие более двух производных обязательно приводит к тому, что гамильтониан больше не имеет нижней границы (хороший технический обзор дан в Woodard (2007) иВудард (2015) ).

Обычно считается настолько важным, что гамильтониан служит тем, что ограничивает теорию конечным объемом фазового пространства, что он составляет половину одной из аксиом, входящих в КТП ; в сумме:

1. существует оператор, соответствующий гамильтониану, служащему генератором временных трансляций (и нётеровскому заряду, сохраняющемуся благодаря временной инвариантности законов физики), и
2. собственные значения генератора временных трансляций положительно полуопределены (или имеют нижнюю границу).

Содержание представления Келлена — Лемана ( ссылка на Википедию , также освещается в разделе 10.7 Вайнберга «Квантовая теория полей», т. I ) состоит в том, что приведенный выше постулат в сочетании с лоренц-инвариантностью обязательно влечет не более двух производных в инверсия пропагатора.

Комбинация Остроградского и Келлена-Лемана кажется непреодолимой, но только если вы настаиваете на утверждении, что «гамильтониан = энергия» (здесь я использую «гамильтониан» как сокращение для генератора переводов времени, а «энергия» как сокращение для «тот сохраняющийся заряд, который имеет нижнюю границу и удерживает поля в фазовом пространстве»). Я подозреваю, что если вы готовы разделить эти две работы, то трудности в теориях высших производных исчезнут. Новая версия постулата преобразования энергии/времени будет выглядеть примерно так:

1. генераторы пространственно-временных трансляций сохраняются (гамильтоновы, 4-импульсные),
2. существует сохраняющийся 4-векторный оператор, принимающий значения в прямом световом конусе, и
3. Операторы в 1 и 2 совпадают для низкой частоты (классическое физическое соответствие).

Ключевой статьей в этом направлении является Капарулин, Ляхович и Шарапов (2014) «Классическая и квантовая устойчивость динамики высших производных» (и статьи, которые ее цитируют, особенно тех же авторов), которая показывает, что неустойчивость становится лишь проблема для осциллятора Пайса-Уленбека, когда вы связываете сектор с более высокой производной с другими секторами определенным образом, и он стабилен, когда вы ограничиваете связи другими способами.

Все это говорит о том, что большее количество деривативов не будет панацеей. Если вы попытаетесь устранить расхождения в калибровочной теории, например, добавив больше производных, вы всегда будете добавлять члены взаимодействия с большим количеством производных таким образом, чтобы теория оставалась такой же расходящейся, какой она была в начале. Обратите внимание, что «больше производных» математически эквивалентно регуляризации Паули-Вилларса (PV) путем разложения на неполные дроби преобразования Фурье пропагатора. Известно, что PV плохо сочетается с калибровочной теорией именно из-за этой проблемы, хотя обычно это формулируется как нарушение калибровочной инвариантности, поскольку связи более высокого порядка с большим количеством производных, необходимых для сохранения калибровочной инвариантности, не учитываются.

Как сказал Гетеротик в комментариях, «фундаментальное» изменение, независимо от того, насколько фундаментальным вы его считаете, скорее всего, является переходом от старого взгляда на перенормировку как на произвольный выбор констант для сокрытия неприятных расходящихся величин к современному вильсоновскому понятию. группы перенормировки (полу-), где шкала перенормировки по своей сути представляет собой отсечение до того момента, когда рассматриваемая КТП действительна как эффективная теория поля - см. Также этот мой ответ для примера того, как два взгляда различаются в просмотре шкалы перенормировки .

Таким образом, фундаментальное изменение можно легкомысленно сформулировать как переход от рассмотрения КТП как фундаментальной теории всего к использованию их в качестве эффективных теорий поля с неотъемлемым ограничением достоверности, определяемым вильсоновским обрезанием.

Почему вы думаете, что что-то изменилось ? Хотя я полностью согласен с точкой зрения ACuriousMind о том, что рассмотрение КТП как эффективной теории снимает некоторое давление по поводу природы перенормировки, я не думаю, что это то, что представлял себе Дирак.

Как упоминалось в комментариях, Дирак в душе был геометром — или, по крайней мере, тем, кто понимал математическую структуру Вселенной. В этом контексте я не думаю, что он счел бы переход к эффективной теории поля очень привлекательным. Я думаю, что он имел в виду «фундаментальный» как включающий фундаментальный сдвиг в нашем понимании математической структуры нашей вселенной.

Поэтому, на мой взгляд, он рассматривал бы попытки изменить эту структуру (с помощью строк, циклов, некоммутации и т. д.) как необходимое фундаментальное изменение. Так что с этой точки зрения не произошло изменений, к которым стремился Дирак. Мы все еще работаем над этим.

Что касается вопроса о том, произошли ли такие фундаментальные изменения, я бы сказал и да, и нет. Да, потому что точка зрения Уилсона дала гораздо более ясную картину перенормировки, которая, кстати, не является «заметанием расхождений под ковер». Заявление Дирака о его понимании перенормировки (или ее отсутствия) совершенно устарело в 2017 году. Однако я также сказал «нет», потому что, по моему мнению, разработка РГ Вильсона все еще продолжается. Я знаю, что это уже учебник для курсов КТП, но я думаю, что РГ Уилсона еще не понята в более общей ситуации, когда связи (и отсечки!) зависят от пространства. Я чувствую, что в конечном итоге можно только объявить о победе и сказать: «Да, теперь мы понимаем РГ Уилсона».

Редактировать: для тех, кто все еще думает, что перенормировка - это "процедура стоп-пропуска" или какой-то произвольный рецепт поваренной книги, см. мой ответ на определение перенормируемости Вильсона . Это должно (надеюсь) прояснить, что перенормировка континуальных КТП, рассматриваемая в рамках Вильсона, на самом деле является хорошо поставленной и, смею сказать, красивой .математический вопрос. Некоторые, как, возможно, Дирак, могут принять идею о том, что BPHZ или перенормировка Вильсона-Полчинского — это патч, ожидающий лучшего, более концептуального или геометрического объяснения. Мой ответ вовсе не ортогонален этому убеждению. Именно на это я пытался указать, говоря о связи с голографической РГ, которая является своего рода геометризацией РГ через введение дополнительного координатного направления.$z$соответствующий масштабу. Эксперты AdS/CFT могут поправить меня, если я ошибаюсь, но я так понимаю, что связь с РГ играет важную роль в этом соответствии, но точная количественная связь между Вильсоновской РГ и голографической РГ остается неясной.

Я думаю, что Дирака не устраивала математическая бессмысленность способа выполнения перенормировки.

Это изменилось с появлением теории причинных возмущений . Последнее является ковариантным и математически безупречным способом обработки пертурбативной УФ-перенормировки, без введения где-либо во время разработки обрезания (и связанного с ним сомнительного предела), геометрически бессмысленной нецелочисленной размерности или любой математически неопределенной (бесконечной) величины. Нет и нефизических голых величин - параметры$e$а также$m$возникающие при каузальном подходе к КЭД, имеют во всем своем физическом смысле заряд электрона (при нулевой энергии) и массу электрона.

Проблема с отключением энергии$\Lambda$заключается в том, что он разрушает ковариантность и причинную структуру, которые проявляются только в пределе. Более того, это приводит (за исключением асимптотически свободных теорий) к таким артефактам, как полюсы Ландау, которые запрещают принятие предела$\Lambda\to\infty$. Ковариантный подход, учитывающий причинность с самого начала, позволяет избежать последней и концептуально лучше. Это также объясняет, почему стандартный подход приводит к обычным проблемам с бесконечностями, а именно потому, что распределения можно умножать только в тщательно контролируемых условиях.

(Причинный подход является пертурбативным, но поддерживает ренормализационную группу , которая добавляет к ней ту же непертурбативную информацию, что и любая расширенная ренормгруппа теория возмущений, включая оценку возможного полюса Ландау. Полюс Ландау конструктивно опасен только в подходе, где обрезание должно пересекают полюс Ландау Таким образом, даже если полюс Ландау в ренормализационной структуре Боголюбова-Штюкельберга может присутствовать в каузальном подходе, он вообще не имеет последствий, так как можно выполнить пертурбативное построение при любой фиксированной энергии ниже масштаба перенормировки ( в КЭД, даже при$E=0$) и имеет правильную теорию возмущений. Только физическая связь должна быть небольшой.)

Я не думаю, что Дирак потребовал бы смены парадигмы, если бы знал причинный подход и то, что он универсально применим ко всем релятивистским КТП, включая стандартную модель. Я полагаю, что Дирак был бы удовлетворен таким решением своих проблем. В любом случае, это полностью снимает его жалобу.

Когда вы получаете число, которое оказывается бесконечным, хотя должно быть конечным, вы должны признать, что с вашими уравнениями что-то не так, и не надеяться, что вы сможете получить хорошую теорию, просто подделав это число.

То же самое относится и к жалобе Фейнмана (цитируется по http://www.cgoakley.org/qft/ ) .

Игра с оболочкой, в которую мы играем... технически называется «перенормировкой». Но каким бы умным ни было это слово, я бы назвал это тупиковым процессом! Необходимость прибегать к таким фокусам-покусам помешала нам доказать, что теория квантовой электродинамики математически непротиворечива. Удивительно, что теория до сих пор так или иначе не доказала свою непротиворечивость; Я подозреваю, что перенормировка математически незаконна.

Благодаря теории причинных возмущений пертурбативная перенормировка стала математически полностью законной и хорошо понятной.

Он не единственный. Фейнман также называл перенормировку «фокусом-покусом».

Оказывается, перенормировка имеет красивую математическую структуру, описываемую космической группой Галуа :

То, что называется космической группой Галуа, является мотивной группой Галуа, которая естественным образом действует на структуры при перенормировке в квантовой теории поля. Настоящая ренормализационная группа является 1-параметрической подгруппой космической группы Галуа.

Приятно видеть, что ренормализационная группа на самом деле является группой в математическом смысле.

Кроме того, считается, что перенормировка необходима, чтобы избежать бесконечностей, возникающих из-за идеализации точечных частиц в КТП; и оказывается, что сама перенормировка обходится без теории пертурбативных струн, где точечные частицы заменяются струнами.

Я уверен, что прорыв должен исходить от математики. В частности, мы сможем манипулировать значениями расходящихся интегралов и рядов точно так же, как мы манипулируем вещественными и комплексными числами. Эти расширенные числа будут столь же полезны в КТП и физике вакуума, как комплексные числа в квантовой механике.