Что означает неопределенная формула в физике?

Да, частица будет продолжать ускоряться и никогда не достигнет конечной скорости. Но это не то, что говорит вам это уравнение. Это уравнение говорит вам, какова конечная скорость при заданных параметрах функции. В вакууме конечной скорости нет. Это не ноль, это не бесконечность. Конечной скорости буквально не существует, и это именно то, что говорит вам уравнение.

Как и в математике, вы получаете физический смысл через предел: он не «неопределен», он «уходит в бесконечность», когда$\rho$идет к 0 сверху. (это единственный способ в физическом мире, поэтому он там хорошо определен).

Проблема здесь в том, что существование конечной скорости зависит от предположения, что частица движется через жидкость. Поскольку реальные жидкости имеют только положительную ненулевую плотность, простая подстановка 0 нарушает это предположение.

Можно сказать, что классический предел конечной скорости при приближении жидкости к вакууму (т. е. при приближении плотности к 0) равен бесконечности, но этот предел не является действительным числом, поэтому частица в вакууме не имеет конечной скорости. (Как указано в комментариях, если мы примем во внимание относительность, этот предел станет с , скоростью света в вакууме. Включение относительности в формулу сделало бы ее излишне сложной для практических целей.)

Очевидно, это один из многих примеров того, что может произойти в задачах физики, но что на самом деле означает undefined с точки зрения физики? Надеюсь, я ясно объясняю себя.

Математические формулы, используемые для моделирования физических наблюдаемых, действительны в определенных рамках, где они соответствуют наблюдениям и успешно предсказывают новые наблюдения. Неопределенный или бесконечность означает, что математическая модель не работает и необходимо найти новую физическую модель/теорию. В вашем примере модель не работает для плотности 0, и либо для вакуума требуется новая формула, либо цель (конечная скорость) не имеет смысла в вакууме.

Изучение того, существует ли конечная скорость в вакууме, приводит к специальной теории относительности . Частица в вакууме никогда не сможет достичь скорости света, и это совершенно новая модель поведения частиц, проверенная бесчисленное количество раз.

Элементарные частицы — это точечные частицы, бесконечность электрического потенциала 1/r при r=0 классически рассеивается развитием квантовой механики, совершенно новой основы, лежащей в основе всей природы.

Таким образом, неопределенная математика указывает на необходимость новых теорий/моделей.

Ваш вопрос действительно очень ясный, хороший пример и затрагивает суть физики - возможность определять, предсказывать мир с помощью математических моделей. Но вы должны убедиться, что ваши модели верны и полны.

Фабрис и Робер правы - скорость уйдет в бесконечность без ограничений. И есть ключ к тому, что происходит как интерпретация физики — ограничения . Уравнение, которое вы цитируете, представляет собой стационарное решение - скорость небольшой массы, ускоряющейся по направлению к большему телу с гравитационным ускорением g, с проекционной площадью,$A$, а в атмосфере с плотностью$\rho$.

Удалите атмосферу, и, как вы говорите, больше не будет силы сопротивления, и поэтому исходная динамическая модель, из которой вы вывели эту формулу устойчивого состояния, будет другой . Но когда ты позволяешь$\rho$перейти к нулю, это (почти) дает вам правильный ответ. Я говорю почти потому, что уравнение, которое вы приводите, не является полным без дополнительного уравнения: того, которое ограничивает путь притягивающих тел к точке их столкновения — жесткий предел. Вещи не могут падать вечно — в конце концов они падают на землю. Это реальная и полная физика вопроса.

Предостережение: «Вещи не могут падать вечно». Это может быть неверно для черной дыры. Время и пространство настолько искривлены, что, если верить часам вне черной дыры, объекту может потребоваться «вечность», чтобы достичь сингулярности. Но эта физика требует дополнительной математики для моделирования поведения.

По сути, это означает «вопрос бессмысленный, поэтому не спрашивайте».

Например, в данном конкретном случае мы пытаемся найти конечную скорость. Конечная скорость — это скорость, при которой ускорение силы тяжести и сопротивление ветра уравновешивают друг друга. Если нет атмосферы, обеспечивающей сопротивление ветру, то по определению такой скорости никогда не может быть, и поэтому невозможно определить, какой будет конечная скорость в такой ситуации.

Уравнение, которое вы дали, является приближением для ситуации, когда$\rho$отлична от нуля , а гравитация постоянна и представляет собой предел скорости, к которой может приблизиться объект (обратите внимание: это значение никогда не будет достигнуто, просто приблизится).

Также можно рассчитать, сколько времени потребуется, чтобы добраться туда (опять же, исходя из предположения о постоянной плотности и силе тяжести). У уравнений есть «характерное время»$\tau= \frac{v_t}{g}$в них - иными словами, понятие "предельная скорость" даже не начинает иметь никакого значения до времени, равного нескольким$\tau$прошел.

Несколько вещей, на которые стоит обратить внимание:

• гравитация непостоянна: и если вы вычислите скорость, достигнутую объектом при свободном падении из «бесконечности», и примите, что все трение из-за атмосферного сопротивления равно нулю, объект достигнет скорости всего около 11 км/с — это вся потенциальная энергия переходит в кинетическую.

• при наличии сопротивления объект должен будет падать в течение времени, равного нескольким$\tau$приблизиться к предельной скорости (чтобы ускорение замедлилось).

• при экстремальных скоростях релятивистские эффекты начнут играть роль

Ни одна из этих вещей не рассматривается в вашей простой трактовке уравнения конечной скорости.

Когда физическое уравнение дает нам то, что кажется бессмысленным ответом, это обычно означает, что наше понимание (или описание) физики, описываемой уравнением, является неполным. Известным примером этого была ультрафиолетовая катастрофа, разрешение которой было важным фактором в формулировке квантовой механики.