(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

I) Во-первых, речь идет о прямом или декартовом произведении$SU(2)\times SU(2)$групп, а не тензорное произведение$^1$ $SU(2)\otimes SU(2)$групп.

II) Во-вторых,$SU(2)\times SU(2)$не изоморфна группе Лоренца$SO(3,1)$а скорее к компактному родственнику

В частности,$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$безответный под$su(2)\oplus su(2)$соответствует 4-мерному представлению фундаментального вектора при$o(4)$.

III) В-третьих, ОП может иметь в виду комплексную группу Лоренца.$SO(3,1;\mathbb{C})$, который имеет двойное покрытие$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$,

ср. этот пост Phys.SE. В частности,$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$безответный под$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$соответствует 4-мерному представлению фундаментального вектора при$o(3,1;\mathbb{C})$.

--

$^1$Обратите внимание, что существуют различные конструкции абелевых и неабелевых тензорных произведений для групп. Например, для абелевой группы$(\mathbb{R}^n,+)$, тензорное произведение равно$\mathbb{R}^n\otimes\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{nm}$, а декартово произведение равно$\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\cong \mathbb{R}^{n+m}$.

Проблема здесь с идентификацией$(A,B)$значения представления со спином.$A$а также$B$не соответствуют спину (они даже не эрмитовы!), они просто подчиняются$SU(2)$Алгебры Ли, и поэтому они складываются так же, как и спины. Когда мы говорим, что$A_\mu,J_\mu,p_\mu,...$все в$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$представления группы Лоренца мы имеем в виду, что они преобразуются как четырехвектор, вот и все. Люди могут облениться и сказать, что они являются объектами со вращением 1, но на самом деле они имеют в виду следующее:$(A,B)$вращать 1 объект.